Нет, уже действует.
Не путайте дату события и дату вступления закона в силу. То, что у Вас полис выписан до вступления в силу не значит, что Вы можете ездить месяц.
Статья 12.37. Несоблюдение требований об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств
(введена Федеральным законом от 25.04.2002 N 41-ФЗ)
1. Управление транспортным средством в период его использования, не предусмотренный страховым полисом обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортного средства, а равно управление транспортным средством с нарушением предусмотренного данным страховым полисом условия управления этим транспортным средством только указанными в данном страховом полисе водителями -
влечет наложение административного штрафа в размере трехсот рублей.
(в ред. Федерального закона от 22.06.2007 N 116-ФЗ)